Aamulehti 8.2.1969 (Otsikoitu "Tiedämmekö mitään äärettömyydestä?")

 

MITÄ TIEDÄMME ÄÄRETTÖMÄSTÄ

Monilukuisissa tapauksissa ihmisen asenteena on asenne, jota voisi nimittää vielä-asenteeksi taikka lisäilynhaluksi. Vielä markka tai vielä lisää markka, vielä sentti, vielä korkeammalle, vielä nopeammin jne. ovat tuttuja jokapäiväisiä suhtautumistapojamme. Mutta hyvin yleisesti tämä vielä-asenteemme ja lisäilynhalumme törmää olojen pakosta johonkin rajaan. Markat loppuvat, haluttua senttiä ei saa mistään irti, ei pääse korkeammalle eikä nopeammin jne. Rajaan törmätään aina, kun on kysymys joistakin äärellisistä seikoista. Vastaan tuleva raja voi kyllä olla hyvinkin kaukana, jopa suorastaan saavuttamattomissa, mutta se on kuitenkin jossakin. Jos esimerkiksi maapallon hiekkajyväset olisi laskettava, tulisi siinäkin työssä raja ehdottomasti kerran vastaan, nimittäin silloin, kun kaikki hiekkajyväset olisivat tulleet lasketuiksi. Hiekkajyvästen luvun kaltaisia suunnattomia lukumääriä voidaan kuvitella monenlaisia (ajatelkaamme esimerkiksi maailmankaikkeuden tähtien lukumäärää), mutta suunnattomuudestaan huolimatta tämmöiset lukumäärät ovat äärellisiä, olivatpa ne miten päätähuimaavia tahansa.

On kuitenkin yksi kaikille hamasta lapsuudesta tuttu tapaus, jossa mikään laskija ei milloinkaan voi tavoittaa rajaa. Se tapaus on luonnollisten lukujen jono 1, 2, 3... Miten monta näitä lukuja on, on kysymys, johon emme voi vastata puhumatta äärettömyydestä. On ilmeistä, että luonnollisten lukujen joukko on ääretön ja sellaisena tosiasia, joka on ihmisestä riippumaton. Se ei voi olla olemassa äärellisyydessä. Jos näet n on jokin kokonaisluku — mikä hyvänsä ja miten suuri hyvänsä —, niin myös n + 1 on aina olemassa. Luonnollisten lukujen jonon täytyy niin ollen olla loppumaton. Lähinnä juuri tämä ilmiö, luonnollisten lukujen jonon päättymättömyys, on johtanut ihmisen jo varhain pohtimaan ääretöntä, vaikka hänellä ei voikaan olla siitä minkäänlaista näkemyksellistä käsitystä. Muinais-Kreikan filosofit tiesivät puhua äärettömästä. Zenonin kuuluisat todistukset, että nopsajalka Akhilleus ei voi saavuttaa kilpikonnaa, koska hän saavuttuaan siihen pisteeseen, jossa kilpikonna äsken oli, aina joutuu toteamaan, että kilpikonna on ehtinyt siirtymään uuteen, edessäpäin olevaan pisteeseen, jossa hän ei vielä ole, ja että ei voi olla olemassa liikettä, koska kappaleen siirtyäkseen pisteestä A pisteeseen B täytyy sivuuttaa janan ABn keskipiste, mutta päästäkseen siihen sen täytyy sivuuttaa tämän puoliskon keskipiste ja päästäkseen taas siihen janan ABn kahdeksasosan keskipiste jne. rajattomiin, mikä merkitsee siis sitä, ettei äärellisessä ajassa voi milloinkaan kulkea niitä äärettömän monia välejä, jotka ovat matkalla Asta Bhen, nämä Zenonin todistukset käyttävät hyväksi ääretöntä. Kreikkalaiset matemaatikot Eudoksos, Eukleides ja Arkhimedes käsittelivät hekin ääretöntä, mutta – kuten sanotaan – potentiaalisena, ts. he käyttivät äärettömän sijasta äärettömien lukujonojen raja-arvoja.

Huolimatta siitä, että ääretön on näin kauan ollut jollakin tapaa tuttu, se kuitenkin oli pitkät ajat vailla nimenomaista määritelmää. Oli ts. jatkuvasti sanomatta, miten ääretön poikkeaa äärellisestä ja eroaa epävarsinaisesta, potentiaalisesti äärettömästä eli indefiniittisestä, joka luonnollisten lukujen tavoin saattaa äärellisenä pysyen rajattomasti kasvaa. Voimmehan sanoa suuren luvun ja sitten vielä, kuten puhe oli, vielä suuremman luvun, mutta ne kaikki ovat edelleen äärellisiä.

Äärettömyyden eli ns. aktuaalisen äärettömyyden eli transfiniittisyyden määritelmä esitettiin vasta viime vuosisadalla. Esittäjä oli saksalainen matemaatikko R i c h a r d D e d e k i n d (1831-1916). Hänen mukaansa joukko on ääretön, jos sillä on sellainen aito osajoukko, jonka jäseniin eli alkioihin itse joukon alkiot voidaan yksiyksisesti rinnastaa, jos ts. voidaan siis menetellä siten, että osajoukon kullekin alkiolle valitaan kokonaisjoukosta vastineeksi yksi alkio. Kummankin joukon alkioista muodostetaan siis tällä tavalla pareja, kun tutkitaan, onko jokin joukko ääretön vai ei.

Jos tätä Dedekindin lausumaa määritelmää sovelletaan luonnollisten lukujen muodostamaan joukkoon, joudutaan toteamaan sen äärettömyys. Ajatelkaamme erästä rinnastusta. Rinnastakaamme luonnollisten lukujen joukon alkiot, siis yksityiset luvut yksiyksisesti erään luonnollisten lukujen osajoukon, esimerkiksi parillisten lukujen muodostaman joukon alkioihin. Rinnastuksen täydellinen suorittaminen on tietysti mahdotonta, mutta rinnastamisen meno, sen menettelytapa, sen periaate on helppo osoittaa. Rinnastamme siis keskenään luonnollisten lukujen joukon ensimmäisen alkion, luvun yksi, ja parillisten lukujen joukon ensimmäisen alkion luvun kaksi, sitten rinnastamme luonnollisten lukujen joukon toisen alkion, luvun kaksi ja parillisten lukujen joukon toisen alkion, luvun neljä, sen jälkeen ovat vuorossa luonnollisten lukujen joukon kolmas alkio 3 ja parillisten lukujen joukon kolmas alkio 6. Näin jatketaan tai ajatellaan jatkettavaksi.

Rinnastuksesta paljastuu se merkittävä asianhaara, että vaikka rinnastus on molempiin suuntiin yksiyksistä ja luonnollisten lukujen joukossa on parillisten lukujen lisäksi myös kaikki parittomat luvut, rinnastusta voidaan jatkaa Ioputtomiin. Muodostamalla tällaisia pareja ei parillisten lukujen osajoukkoa saada milloinkaan tyhjenemään. Luonnollisten lukujen joukko on siis ääretön, ja parillisten lukujen muodostama osajoukko on siis niin sanoakseni yhtä suuri kuin itse kokonaisuus, luonnollisten lukujen ääretön joukko.

Dedekindin määritelmä mainitsee äärettömien joukkojen ominaisuuden, joka erottaa ne jyrkästi äärellisistä joukoista ja hämmästyttää meidän äärellisyyteen tottunutta mieltämme. Äärellisyydessähän osa aina on kokonaisuutta pienempi, mutta äärettömyydessä osa ei ole kokonaisuutta pienempi vaan yhtä suuri kuin se. Pienimmänkin jananosan pisteiden ääretön lukumäärä on siis sama kuin kaikkien pitempienkin janojen, rajattomankin pitkien janojen pisteiden lukumäärä. Tämä äärettömyyden ominaisuus ei ole ainoa sen ominaisuuksista, joka on äärellisyyteen perustuville käsityksillemme täysin outo.

* * *

Äärettömyyden tutkimuksen suuri klassikko oli Hallen yliopiston matematiikan professori
G e o r g C a n t o r (1845-1918). Hän perusti ns. joukko-opin, joka tutkii äärettömien joukkojen teoriaa. Cantor syntyi Pietarissa, ja isänsä toivomuksesta hän opiskeli insinööriksi. Matemaattiset harrastukset saivat hänet kuitenkin pian kokonaan valtoihinsa. Hänestä tuli nopeasti Hallen yliopiston opettaja. Cantor osoitti joukko-opissaan mm. sen varmaan yhtä yllättävän tiedon kuin äskeinen äärettömän ja sen osajoukon keskistä suuruutta koskeva on, että on olemassa muitakin äärettömiä joukkoja kuin luonnollisten lukujen joukko, vielä paljon suurempia kuin se. Luonnollisten lukujen joukko on kaikista äärettömistä pienin. Sen hän muuten merkitsi heprealaisen kirjaimiston ensimmäisellä kirjaimella alefilla käyttäen sen kupeessa vielä indeksiä, pientä nollaa osoittaakseen, että on ensimmäisestä äärettömästä kysymys. Hän kiinnitti edelleen huomiota siihen, että niin kuin todellisuus jakautuu äärellisyyteen ja äärettömyyteen, niin ääretön jakautuu vielä numeroituvaan ja numeroitumattomaan äärettömään ja että numeroitumatonkin ääretön jakautuu vielä puolestaan eriasteisiin äärettömyyksiin. Äärettömän numeroituvaisuus merkitsee sitä, että
luonnolliset luvut voidaan yksiyksisesti rinnastaa sen alkioihin, ts. että sen jokainen alkio voidaan ikään kuin numeroida. Tällainen numeroituva ääretön on esimerkiksi kaikkien murtolukujen muodostama joukko. On kuitenkin myös sellaisia äärettömyyksiä, joiden alkioita on niin paljon, ettei sanotusta yksiyksisestä rinnastamisesta tule mitään. Nämä äärettömyydet ovat niin suuria etteivät luonnolliset luvut riitä. Sen vuoksi niitä sanotaan numeroitumattomiksi. Tällaisiin kuuluu mm. päättymättömien kymmenyslukujen muodostama joukko.

Numeroitumattomista äärettömyyksistä on tieteellisessä keskustelussa ollut eniten esillä ns. kontinuum eli jatkumo. Kontinuumprobleemassa on lähinnä kysymys siitä — nimitys kontinuum, jatkumo jo viittaa siihen —, onko jossakin suorassa aukkoja vai onko se täysin aukottomasti jatkuva. Miten paljon pisteitä tarvitaan janan päätepisteiden väliin, niin ettei siinä ole pienintäkään aukkoa vaan se jatkuu aukottomasti. Koska suoran pisteiden lukumäärä ja kaikkien päättymättömien nollan ja 1n välillä olevien desimaalilukujen joukko vastaavat yksiyksisesti toisiaan, kontinuum ja mainittujen desimaalilukujen joukko ovat ekvivalentit eli tasa-arvoiset ja kontinuumkysymys koskee mm. myös näiden päättymättömien desimaalilukujen määrää. Cantorilla oli se käsitys, että kontinuumin kardinaaliluku, lukumäärä on 2 korotettuna potenssiin alef nolla. Tämän lukumäärän hän merkitsi lyhyesti alefilla, johon kuului indeksinä pieni ykkönen. Hän oletti näet, että alef ykkönen on suuruusjärjestyksessä alef nollaa lähinnä seuraava ääretön. Hänen ei kuitenkaan onnistunut todistaa näitä oletuksiaan. Jäi näin ollen avoimeksi kysymys, onko ehkä pienimmän äärettömän eli alef nollan ja kontinuumin eli alef ykkösen välissä joitakin äärettömiä lukumääriä. Äärettömyyksien jonon tuntemiselle tämä kysymys on aivan olennainen. Sen ratkaisun mukana paljastuu äärettömyydessä vallitseva järjestys, äärettömyyksien hierarkia.

* * *

Äärettömyys on Cantorin toimesta ja hänen jälkeensä ratkaisevasti siirtynyt tutkimattoman alueelta alueelle, jonka tutkiminen on mahdollista. Se alue siis, jota ei ylimalkaan lainkaan voida tutkia, transsendenssi on siirtynyt niin sanoakseni äärettömyyden tuolle puolelle. Äärettömän tutkimuksen edistymisellä — tällä viimeaikaisen tieteen suurenmoisella, mutta varmaan avaruuslentojen rinnalla varjoon jääneellä ja jäävällä aluevaltauksella — on ollut matemaattisia, filosofisia ja uskonnollisia seurauksia, koska äärettömyys on näiden alojen yhteinen käsite. Ei ole mikään vähäpätöinen seikka, että vaikka ihmisellä ei ymmärryksensä kykyjen karkean rajallisuuden vuoksi voi olla mitään näkemyksellistä kuvaa äärettömyydestä, pienintäkään aistimin saavutettavaa aavistusta siitä, hänellä silti voi olla siitä paljon tietoa. Tämän tiedon kautta käy esimerkiksi sellainen seikka kuin Jumalan kaikkiallinen läsnäolo, joka mainitaan Jumalan yhtenä ominaisuutena, ymmärrettäväksi. On selvä että mikäli on kysymys äärellisyydestä —käsitettäköönpä se nyt miten rajattomaksi tahansa —, Jumala ei voi samalla kertaa olla pieni ja läsnä pienessä sekä suuri ja läsnä suuressa, kuten kaikkiallinen läsnäolo vaatii. Äärettömän Jumalan läsnäolo sen sijaan on mahdollinen sekä suuressa että pienessä, sekä menneessä että tulevassa sen johdosta, että hän on ääretön. Läsnäolo niin suuressa kuin pienessä on mahdollinen siten, että osana oleminen sisältää äärettömyydessä tarkasti kokonaisuuden. Edellähän oli jo puhe siitä, että äärettömyydessä laki, jonka mukaan osa on kokonaisuutta pienempi, ei pidä paikkaansa.

* * *

Äsken ilmestyneen suuren teoksensa 'Mitä tiedämme äärettömästä' tekijä, professori Uuno Saarnio aloittaa: "Äärettömyysongelmaa on tavallisesti pidetty ratkaisemattomana. Ei ole voitu määritellä, mitä ääretön on, mutta on kuitenkin aina ollut henkinen pakko käyttää äärettömän käsitettä. Ääretön on ollut jotakin epämääräistä, mutta samalla valtavaa, joko pelottavaa ja pahaa tai tenhoavaa, jumalallista ja pelastavaa. Ihmishenki ei ole voinut sokeasti rajoittautua äärellisyyteen, vaan on tahtonut aina joko positiivisesti tai negatiivisesti määrätä suhteensa äärettömään. Onko ääretön jo sinänsä olio tai olemus vai onko olioita tai olemuksia, joiden välttämättä täytyy olla äärettömiä? Onko olemuksia, joiden ominaisuuksienkin täytyy välttämättä olla äärettömiä? Ilmaiseeko ääretön ominaisuutena jotakin kvantitatiivista? Mikä on äärettömän suhde äärellisyyteen?"

Siinä on kappale kirjan ohjelmaa. Vastaukset tämäntapaisiin kysymyksiin rakentuvat suurelta osalta Cantorin selvityksiin, mutta hauska on panna merkille, että meikäläiselläkin joukko-opin tutkimuksella on ollut painava lisänsä annettavana äärettömyyden ominaisuuksien selvittämiselle.

Äärettömän ääriviivojen näin vähä vähältä hahmottuessa sen sijaan tuntematon todellisuus, transsendenssi, ajattomuus ja avaruudettomuus astuvat esiin entistä valtavampina arvoituksina.

Aarni Penttilä.